Jumat, 18 November 2016

Struktur Aljabar Matematika Informatika

Contoh Soal Dan Pembahasan Struktur Aljabar
Matematika Infomatika

Kelompok 2


Anggota :
1.      ANDO PRATAMA WIBAWA (50415703)
2.      HETY NURBAETI (57415468)
3.      M FATHI FADHILLAH (53415926)
4.      MUHAMMAD AJI PRASETYO (54415474)
5.      RAHMA DEA LESTARI (55415551)
6.      RIZKY ESHA WAHYU UTAMA (56415182)
7.      SETYO BAYU AJI (56415497)



UNIVERSITAS GUNADARMA







1.)             A = {1,2,3,4}
 Apakah A termasuk dalam semigrup dalam operasi penjumlahan (A,+) ?
Jawab :
·         Tertutup :
Misal a=1 dan b=2
a*b =  a+b
        =  1+2 = 3     (tertutup)

·         Asosiatif :
(a*b)*c =a*(b*c)
(1+2)+3 = 1+(2+3)
             6 = 6          (asosiatif)

·           Karena Himpunan A bersifat Tertutup dan Asosiatif maka termasuk dalam Semigrup


2.)   Himpunan bil. Asli P didefinisikan operasi biner :
x*y = a+2b+ab
apakah (P,*) termasuk grup abel?
   Jawab :
·         Tertutup :
Misal a = 1 dan b =2
a*b =  a+b
        =  1+2 = 3             (tertutup)

·         Asosiatif :
(a*b)*c =a*(b*c)
(a+2b+ab)*c = a+(b+2b+bc)
a+2b+ab+c+(a+2b+ab)c = a+b+2b+bc+a(b+2b+bc)
a+2b+ab+c+ac+2bc+abc = a+b+2b+bc+ab+2ab+abc
a+2b+c+ab+ac+2bc+abc = a+3b+bc+3ab+abc                  (tidak asosiatif)

·         Karena Himpunan P tidak bersifat Asosiatif maka tidak termasuk dalam grup abel


3.)             Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:
a * b = a + b + ab
Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.

Jawab :

1.    Tertutup
Ambil sebarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka
a * b = a + b + ab * N.
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

2. Assosiatif
Ambil sebarang a, b, c * N, maka
(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + ab
a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc

Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku
(a * b) * c = a * (b * c)

Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.

Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S, *) disebut juga semigrup abel.


4.)      Tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

     Jawab :

H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H Í G.
Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 2, 3 Î H
didapat : 2 + 3 = 5
5 ÎG tetapi 5 ÏH, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +)
Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}


5.)               M = { bilangan bulat}
M = b + a – 2a
Apakah (M,*) adalah semi grup?
Jawab:

Ø  Semi grup
    M = { bilangan bulat}
          M = { …, -2, -1, 0, 1, 2,…}
-          Tertutup
Misal a = 7; b = 3
M = a * b = b + a - 2a
                 = 3 + 7 - 2(7)
           = 10 - 14
           = -4

-          Asosiatif
      (a*b)*c = a*(b*c)
(b+a-2a)*c = a*(c+b-2b)
             r*c = a*s
        c+r-2r = s+a-2a
c +(b+a-2a)- 2(b + a-2a) = (c+b-2b)+ a-2a
           c+b+a-2b+2a- 4a = c+b-2b+a-2a
                                c-b-a= c-b-a

Kesimpulan : (M,*) merupakan semi grup karena memiliki kiteria tertutup & asosiatif



6.)   Ada sebuah notasi (R,%) dengan rumus “  ”. Jika R adalah bilangan bulat, apakah (R,%) adalah semi grup?

Jawab:



Kesimpulan: (R,%) bukan semi grup karena tidak memenuhi kriteria asosiatif—(c % d) % e dengan c % (d % e) berlawanan hasil



7.)   Operasi (R,*) berlaku untuk bilangan  Real dengan   a + b =  ab. Apakah termasuk semigrup?
Jawab :

·         Tertutup
a + b =  ab              a = 2   b = 5
         . 2 . 5
        = 5 (Termasuk Real, jadi tertutup)

·         Asosiatif

Kesimpulan : termasuk Semigrup



8.)     Operasi (S,-) berupa  a – b =  (a + b) berlaku untuk bilangan asli S. tentukan apakah (S,-) adalah monoid?

Jawab :
S = {bilangan asli}
Misa a = 5
          B =  6
a – b =  (a + b)
          =    (5 + 6)
          = 5,5 (tidak tertutup)


·         asosisatif

Kesimpulan : karena tidak tertutup, maka bukan monoid.


9.)    Himpunan bilangan asli dioperasikan kedalam (G,-) dengan a - b = a + b + 3.  Tentukan apakah termasuk kedalam grup?
Jawab :
G = { bilangan asli}
a - b = a + b + 3

·         Tertutup
misal a = 2   b = 3
a - b = a + b + 3
         = 2 + 3 + 3
         = 8  (Tertutup, karena merupakan bilangan asli)


·         Asosiatif


·         Identitas
a * e = a
2 * e = 2
      e = 1  (identitas, karena 1 merupakan bilangan asli)


·         Invers
a + a-1= e
2 + a-1= 1
      a-1= 3


kesimpulan : termasuk grup


10.)   D = { 0 , 1}
Apakah D termasuk Grup dalam operasi penjumlahan?
Jawab :
·         Tertutup
a * b = a + b
         = 0 + 1
        = 1 ( Tertutup)


·         Asosiatif
( a + b ) + c = a + (b + c)
(0 + 1) + 1 = 0 + (1 + 1)
        2          =        2     (Asosiatif)


·         Identitas
a * e = a
1 + e = 1
       e = 1

·         Invers
a + a-1= e
1 + a-1= 0
      a-1= -1 (tidak sesuai)

kesimpulan : karena hanya memenuhi syarat Tertutup, Asosiatif, dan Identitas saja, maka G termasuk Monoid.






Tidak ada komentar:

Posting Komentar